« La géométrie c’est une usine à images »

André Deledicq nous rappelle que pour mieux enseigner la géométrie et la rendre plus accessible à nos élèves, il faut revenir à des activités concrètes sur des objets.

André Deledicq est maître de conférences à Paris 7 où il enseigne l'histoire des mathématiques ; il est également président de "Kangourou sans frontières" et auteur de nombreux ouvrages sur les mathématiques dont des manuels.

JDI : difficultés de l’enseignement de la géométrie

En géométrie, on part d'une image ; le bord d'une table ou un fil tendu donnent l'idée d'une droite mais cette droite idéale, illimitée n'apporte-t-elle rien de plus que l'image initiale ? Est-elle plus proche de la "droite mathématique" parce qu'on l'imagine infinie et parfaitement homogène ? Ici plus qu'ailleurs, il faut apprendre à dissocier le mot et l'image, et faire comprendre que, contrairement à une idée répandue, un même mot peut désigner en mathématiques des choses différentes. C'est là la puissance qu'autorise le langage: il permet à un moment d'accrocher à un mot (par exemple au mot "droite") des propriétés, une connaissance, mais cette connaissance n'est pas définitive, elle n'est qu'une approximation. À la même étiquette, on associe l'image du fil tendu, une ligne illimitée, une équation y = ax + b, l'ensemble des nombres réels, un espace vectoriel de dimension 1, etc. À chaque nouvelle acception s'associe une image ; et chaque image, d'abord porteuse de sens, devient un obstacle pour le pas suivant, qu'il faut dépasser, comme tous les obstacles qui jalonnent l'apprentissage. Et dans certains cas, il faut même abandonner le sens pour n'avoir qu'une activité formelle en ne faisant fonctionner que les propriétés de l'objet.

JDI : comment concevoir l’enseignement de la géométrie

Il est sans doute bon de revenir à l'usage premier de la géométrie qui est la mesure des terrains. À l'école, on peut sans doute s'en tenir là. C'est ce que rappelle Clairaut dans la préface de sa Géométrie. Voici un exemple de problème d'arpentage Deux champs carrés sont en bordure du Nil ; comment les remplacer par un seul, qui ait la même aire que les deux premiers ?

La technique est classique et traduit un théorème fameux: celui de Pythagore.

Ce qui donne du sens, ce sont des activités concrètes sur des objets. C'est pourquoi les puzzles ont beaucoup d'intérêt et d'importance. Lorsque l'on déplace les pièces d'un puzzle, on conserve les aires, et l'on fait apparaître des résultats intéressants. invariance de l'aire d'un parallélogramme lorsque l'on déplace un côté parallèlement au côté opposé le montre bien, et on peut le traduire de plusieurs façons :

Lorsque l'on fait glisser l'équerre, l'un des côtés va balayer l'une des surfaces, alors que l'autre côté va balayer l'autre surface ; ces deux aires sont égales.

Ou bien encore on peut décomposer le trapèze de plusieurs façons, en utilisant l'équerre. Les parties qui restent découvertes ont la même aire. Cette preuve est d'autant plus intéressante qu'Euclide lui même utilise ce genre d'argument pour démontrer le théorème de Thalès.

C'est une démonstration qui est rarement produite alors qu'elle est historiquement importante, et facilement accessible, surtout au collège.

La géométrie des transformations, que l'on peut faire intervenir ici, a été introduite assez tard dans l'enseignement des mathématiques (dans le courant du XXème siècle, et probablement sous l'influence de Poincaré). Mais elle est importante par la richesse des outils, et facile à mettre en place sur le plan pédagogique dès l'école par les glissements et les pliages.

Les transformations sont de vrais objets abstraits, et elles permettent d'énoncer et d'expérimenter des résultats faciles à généraliser pour mieux se détacher de situations particulières. Encore faut-il que les transformations que l'on utilise soient clairement explicitées, et leurs propriétés énoncées : c'est ce passage au langage qui conduit vers les mathématiques.

La difficulté pour l’élève n’est-elle pas de savoir ce qu’il a le droit de faire, d’identifier ce qu’il peut admettre et ce qu’il doit prouver ?

C'est pour éviter de piéger les élèves de cette façon qu'il faut passer très explicitement de l'objet que l'on manipule, de l'image que l'on peut regarder de toutes sortes de façons, au langage, c'est-à-dire à des énoncés qui vont servir à dérouler les preuves. Ce moment est si important qu'il réclame une certaine solennité : on fait 1a liste des énoncés que l'on tient pour acceptés et valides, et qui alimenteront les démonstrations. Une démonstration est un texte dont le point de départ est identifié et qui se déroule selon des règles claires. À partir de là, l'exactitude de la figure n'a plus d'importance.

Quel intérêt spécifique à enseigner la géométrie ?

La première idée qui vient est celle ci: c'est un domaine qui permet de bien comprendre ce qu'est une démonstration ; et c'est aussi une grande usine à images. La géométrie fournit des représentations, c'est-à-dire des moyens de penser, et même des images, y compris pour des objets formels assez compliqués.

C'est sans doute en géométrie que l'on fait le mieux saisir l'idée de preuve, notamment parce que l'intuition peut d'abord s'appuyer sur du sensible. Les mathématiques perdent à ne pas partir de l'expérience. C'est moins accessible en arithmétique, par exemple, parce que l'on est d'emblée confronté à des objets abstraits.

Je dirais que c'est sans doute la géométrie qui contient le plus de mathématiques. On y trouve d'une part des représentations et d'autre part des démonstrations formelles facilement abordables. Mais c'est en géométrie que l'on voit le mieux la nécessité de mettre à distance les représentations et les preuves formelles.

Et la formation des enseignants ?

Pour enseigner les mathématiques, il est bon de connaître l'histoire des mathématiques. Cette histoire est à la fois fondamentale et d'un accès difficile. D'abord parce que les textes authentiques sont eux-mêmes difficiles pour un lecteur contemporain. Si l'on étudie en détail un texte historique, on est en train de lire une pensée en formation, et on ne voit pas forcément ce qu'en fera le génie. Ainsi, pour aborder l'histoire et la géométrie, il faudrait déjà bien connaître la géométrie-qui n'est plus étudiée à l'université, et plus beaucoup au lycée.

Pourtant, une culture géométrique est nécessaire pour pouvoir enseigner et pour distinguer les principales lignes de force. Ainsi la géométrie au lycée culminait pendant la première moitié du siècle avec les coniques ; les allégements de programmes ont peu à peu édulcoré cette partie jusqu'à rendre invisible l'idée unificatrice suivante : les instruments classiques de la géométrie sont la règle et le compas. La géométrie de la règle, c'est celle des droites, c'est-à-dire le premier degré ; avec la géométrie du compas, on accède au second degré, c'est-à-dire aux coniques.

Dans la formation des enseignants, il faudrait mettre en évidence les trois aspects suivants

- la géométrie d'Euclide que l'on a longtemps enseigné presque telle quelle,

- les transformations, qui donnent accès à des objets plus abstraits,

- le lien avec la "droite réelle" qui est une représentation fondamentale.

Il faudrait bien sûr pouvoir aborder cette culture géométrique en formation, mais il faut surtout se convaincre que la formation n'est pas achevée à l'entrée dans le métier, ce qui n'empêche d'ailleurs pas de commencer à enseigner. Elle doit se poursuivre et s'approfondir sans cesse. La connaissance est un mouvement. II faut cri convaincre les professeurs pour que leur enseignement tic soit jamais figé. Et qu'ils sachent que s'il est certainement impossible d'enseigner la géométrie, l'expérience montre tous les jours que les élèves sont capables de l'apprendre...

Propos recueillis par C. Wasseret et F Boule