La construction de l’espace

Le premier objectif de la géométrie est de conduire l'enfant dans sa construction de l'espace. Abordée dès l'école maternelle, cette construction s'approfondit jusqu'au lycée.

Des questions persistantes

Poser le problème de l'enseignement de la géométrie aujourd'hui, c'est poser les quatre questions suivantes

- à l'école, s'agit-il de construire l'espace, de fréquenter des objets géométriques, ou déjà de construire "l'esprit de géométrie" par l'apprentissage du raisonnement déductif ?

- comment articuler le cycle 1 et le cycle 2, d'une part, le cycle 3 et le collège, d'autre part ? Peut-on définir une continuité entre les enseignements de la maternelle à la terminale (plutôt qu'un tronçonnage en phases distinctes) ?

- l'attention croissante portée sur la résolution de problème valorise la méthode, au détriment du répertoire des connaissances exigibles. Cet aspect méthodologique n'est-il pas d'ailleurs la caractéristique la plus constante de la finalité de cet enseignement depuis des siècles : esprit logique, formation du raisonnement, construction de preuves, alors que l'étude du calcul, de l'algèbre, des fonctions a une visée prioritairement instrumentale ?

- pourquoi la géométrie laisse-t-elle si peu de souvenirs, et pas des plus agréables, aux anciens élèves, et notamment aux futurs professeurs, et chez ces derniers une certaine réticence vis-à-vis d'elle ?

La géométrie chez Piaget

L'un des grands mérites de Piaget est d'avoir établi que l'intuition de l'espace, de la durée, de la causalité, du nombre entier..., que l'on croyait condition nécessaire et primitive de toute pensée est en réalité une construction individuelle. Celle-ci procède, à partir des tableaux perceptifs peu différenciés du nourrisson, par enrichissement de l'expérience et coordination des différents "espaces" perceptifs. La construction de l'espace est d'abord activité du corps. C'est ainsi que se constitue un "espace vécu", une "géométrie concrète", qui est prise de possession de l'espace et découverte d'invariants propres à l'environnement et aux objets qu'il contient. Cet espace devient "objectif" lorsque le sujet en vient à disposer de représentations qui deviennent communicables et permettent d'évoquer les objets, voire de raisonner sur eux-mêmes en leur absence. Ainsi émerge 1’objet géométrique" qui est un être abstrait. Une éventuelle distinction espace/géométrie est loin d'être claire chez Piaget. Trois ouvrages concernent ce domaine

La Construction du réel (1937), où il est question non seulement du schème de l'objet, mais aussi du groupe des déplacements; La Géométrie spontanée de l'enfant (1948), où il est encore question des déplacements, mais aussi de la conservation des longueurs, du repérage, des mesures de grandeurs ; La Représentation de l'espace (1948) enfin, où trois idées fortes sont développées

- l'enfant élabore son espace vécu puis un espace représentatif;

- la construction des relations spatiales représentées s'opère dans le même ordre que précédemment dans l'espace vécu ;

- cet ordre va du topologique au métrique, en passant par le projectif, c'est-à-dire apparemment dans l'ordre inverse de l'évolution historique, de l'Antiquité à nos jours.

Espace et géométrie

Une tentation simplificatrice consisterait à placer "du côté de l'espace" ce qui concerne l'organisation du cadre spatial, conduisant à l'espace objectif à trois dimensions, et "du côté de la géométrie" les invariants descriptifs des objets (comme le parallélisme, les angles, les notions de milieu, de longueur, d'aire...), bref ce que développent les Eléments d'Euclide (l'espace concernant ce qu'ils tiennent pour implicite). Quelques exemples devraient dissuader de cette tentation.

Exemple 1 : comment pourriez-vous décrire le chemin de votre domicile à votre lieu de travail? Vous êtes amené à évoquer, image par image, les étapes d'un trajet. Plus le trajet est long, plus les images deviennent incertaines. C'est ainsi que l'enfant découvre (construit) son espace : de proche en proche. Cette construction dépend de ses mouvements, de son regard, des occasions rencontrées.

Exemple 2 : le personnage (fig. 1) situé à gauche doit dicter à la tortue le trajet à suivre, en utilisant les consignes : AV (avancer d'une case), D (tourner à droite et avancer d'une case), G (tourner à gauche et avancer d'une case). Ceci suppose de se mettre à la place de la tortue, c'est-à-dire de changer mentalement de point de vue.

Exemple 3 : la figure 2 représente le développement d'un dé à jouer. Dessiner les faces de la figure 3, de telle sorte que ce soit un développement du même dé à jouer.

Cet exemple illustre probablement l’affirmation de J. Piaget selon laquelle "une image mentale, c'est de l'action intériorisée" ; ici, le recours aux mains pour simuler le pliage des faces n'est sans doute pas inutile; non plus que le repérage de relations entre faces opposées ou adjacentes, sommets communs à plusieurs arêtes... Le langage est indispensable pour établir certaines représentations, mais la construction de l'espace ne s'identifie pas à des leçons de vocabulaire ; les relations spatiales - comme les relations logiques ne sont pas seulement langagières.

Si la construction de l'espace commence dans les deux premières années de la vie, il est clair qu'elle est loin d'être achevée quand l'enfant quitte l'école maternelle, ou même l'école élémentaire.

En conclusion, on voit qu'à l’école, il est d'abord question de construction de l'espace. Il s'agit d'établir des représentations mentales et de les maîtriser. Ceci n'est pas réduit à la manipulation des indicateurs spatiaux du langage, ni des propriétés des objets. Penser l'espace, c'est prolonger l'expérience par des représentations.

L'établissement de ces représentations (mentales ou matérielles) commence à l'école, mais se poursuit jusqu'au lycée.

François Boule, agrégé de mathématiques,

docteur en sciences de l'éducation,

professeur au CNEFEI de Suresnes