L’idée du carré

La géométrie à l’école ne doit pas se borner à l’observation, elle doit préparer l’enfant à l’abstraction.

Peut-on concevoir qu'il existe un polygone régulier de mille côtés ? Oui, bien sûr. Dans notre esprit, ce polygone n'évoque pourtant pas d'image intérieure précise comme celle que déclenche l'idée d'un carré ou d'un triangle équilatéral. Nous pouvons imaginer les quatre côtés égaux, les quatre angles droits du carré au point de le reconnaître instantanément dans un lot de quadrilatères... tout comme nous pouvons imaginer les trois côtés égaux, les trois angles égaux d'un triangle équilatéral.

Acquérir une idée du carré, ce n'est pas seulement avoir en soi l'image fidèle de l'objet mais c'est aussi connaître les propriétés de cette figure et avoir la faculté de calculer, de raisonner sur elle: nombre de diagonales, position relative de ces diagonales, somme des angles intérieurs, éléments de symétrie, etc. Notre conception de l'objet a très vite des limites.

Ce préambule nous prépare à deux questions importantes concernant l'enfant face aux objets de la géométrie plane (notamment les polygones)

- pour une figure donnée, par exemple le carré, quand peut-on penser que l'élève dépasse la simple imagination de l'objet géométrique ?

- en corollaire, quels sont les actes pédagogiques qui peuvent mener l'élève plus sûrement vers l'idée, vers la notion du carré ?

Nous pourrions poser le problème sous un autre aspect

- l'enfant sait distinguer très tôt le dessin d'un carré d'autres dessins de quadrilatères qui lui sont proposés. Ainsi, après avoir trié les empreintes laissées par les pavés, il a pu - dans un premier temps et intuitivement distinguer les carrés et les rectangles non carrés. Nous savons d'ailleurs qu'au cycle 2, il est peu judicieux de faire apprendre qu'un carré est un rectangle particulier...

- au cycle 3, la culture géométrique de l'élève a évolué et nous pouvons penser que le carré n'est plus un objet isolé représenté sur une feuille de papier mais une figure qui évoque en lui un ensemble de propriétés.

Cet objet géométrique issu de notre monde sensible serait en voie de changer de statut.

La connaissance des objets géométriques dépasse celle issue des sciences dites d'observation quand l'idée que l'on se fait de l'objet géométrique devient plus générale. Ce passage nécessite un degré d'abstraction important dont les étapes semblent se construire à l'école élémentaire au cycle 3. Le carré s'efface alors devant la classe des carrés.

Depuis de nombreuses années, nous savons que pour arriver à cette fin, nous devons sortir de la "leçon de choses" et varier les approches. Les manuels scolaires ne préconisent plus depuis longtemps des étude isolées pour chaque type de figures particulières.

Dans ce qui suit, nous développons trois directions de travail pour répondre à notre souhait ; nous illustrons notre discours en choisissant des exemples mettant principalement en jeu le carré.

1. Multiplier les types d'énoncés de problèmes

L'énoncé d'un problème de géométrie pouvoir revêtir différentes formes et pas être dévolu à la seule production de dessins. Voici quelques possibilités.

-Construire une figure ou terminer la construction d'une figure.

-Décrire les propriétés d'une figure (complexe) : par exemple pour qu'un autre élève puisse l'imaginer à son tour et la reproduire.

-Produire un texte décrivant les étapes de la construction d'une figure donnée.

2. Envisager l'objet géométrique dans différents domaines

Il y a trois grands domaines où l'objet géométrique prend des sens différents :

- le domaine des figures (éventuellement complexes) ; les deux exemples précédents sont de ce type,

- le domaine du repérage (positions relatives des points, segments, cercles, polygones. . .),

- le domaine des transformations.

3. Jouer sur les variables didactiques

Parallèlement aux choix précédents, la maîtrise clé certaines variables didactiques va permettre de contrôler des apprentissages ; ainsi peut-on mettre l'accent sur :

- la nature du support : quadrillage, seyes ou papier blanc ; le lecteur fourra reprendre les énoncés précédents en les adaptant à des supports quadrillés : cela entraîne des modifications profondes dans la réalisation de la tâche ;

- les instruments de dessin autorisés règle graduée ou non, compas, équerre, gabarits... ;

- l'orientation de la figure donnée par rapport aux bords de la feuille. Pour être convaincu que cette variable est très importante en géométrie, voici un exercice proposant la réalisation d'une figure à partir d'un même modèle...

Il n'y a pas de carrés dans le monde des objets réels qui nous entoure mais seulement des objets qui permettent d'approcher l'idée de carré ! II nous paraît erroné de croire qu'on peut apprendre la géométrie par la seule observation. L'enseignement de la géométrie à l'école élémentaire conduit à prendre progressivement des distances par rapport aux objets du monde sensible. Nous passons du monde sensible au monde intelligible. Les travaux géométriques répétés à l'école élémentaire préparent l'enfant à divers concepts formés par abstraction.

André Myx, professeur agrégé de mathématiques, ancien professeur IUFM