De la construction de l’espace aux objets géométriques abstraits

En guidant l'élève du concret à l'abstrait, l'enseignement de la géométrie aborde les multiples façons de former l'intuition.

La question de la construction de l'espace ne suffit pas à résoudre la suivante : les objets de l'environnement sont des objets concrets ; les observations que l'on peut faire à leur propos sont particulières ; or la géométrie s'intéresse à des propriétés générales, qui ne concernent pas tel objet particulier (cette boîte, ce dessin), mais toute une classe d'objets (tous les triangles, etc.) ; ces propriétés générales sont énoncées à l'aide de concepts (droite, angle, parallèles...). Comment peut-on passer des objets réels (concrets) à ces objets géométriques abstraits ? Tel était le propos d'André Myx dans l'article précédent.

Posée en termes d'opposition la question semble insoluble. Il n'y a rien de commun au domaine du particulier et à celui du général; ce sont deux mondes disjoints.

La question, cependant, doit être posée en d'autres termes : comment l'enfant, qui ne dispose d'abord que d'une expérience singulière et concrète, parvient-il à des notions abstraites, à des concepts ? Toute la problématique "génétique", telle que Piaget s'est efforcé de l'étudier, se trouve là. On rencontre une analyse du "comment", sinon du "pourquoi" dans les travaux du philosophe F. Gonseth.

La construction des objets géométriques

Cette analyse s'organise autour de rapports dialectiques entre expérience, intuition et déduction.

Quelques images comme le bord d'une règle, un F1 tendu, la vue d'une étendue d'eau calme donnent l'idée de droite ou de plan. C'est, écrit Gonseth, grâce à une "heureuse imperfection des sens" ; en effet, le microscope montrerait bien que la règle ou le fil ne sont pas droits. C'est donc grâce à cette "imperfection des sens", qui permet l'intuition de la droite, que l'on est capable de vérifier que la règle n'est pas vraiment droite! Ce mouvement de schématisation provoque en retour un nouveau regard sur l'objet. Par référence à cette notion de droite, on devient capable d'examiner en quoi l'arête de la table s'en écarte, donc de définir un cadre perceptif plus fin.

Le "moteur" de la capacité à abstraire semble ainsi résulter, non pas d'un saut irrévocable et sans retour, mais d'une multiplicité de va-et-vient.

Le premier mouvement du concret vers l'intuition se nomme "schématisation", et le mouvement inverse "concrétisation" ou "réalisation". Un second mouvement de schématisation permet de passer de l'intuition aux objets abstraits, sur lesquels opère la logique déductive, sans recours nécessaire à l'intuition ou à la concrétisation. On passe ainsi des points, des droites, des plans à une géométrie analytique, ou un système déductif axiomatisé. Il s'ensuit un second va-et-vient.

"Il n y a pas de notion de droite sans connaissance préliminaire de certaines réalisations plus ou moins grossières. " Les objets géométriques sont abstraits par rapport aux réalisations concrètes, mais concrets par rapport aux représentations formelles. Ces objets intermédiaires sont un support nécessaire pour l'intuition. C'est dire encore que les objets les plus abstraits ne peuvent être détachés de ce mouvement sans risque de perte de sens. Le mouvement de [A] vers [C] est celui de l'abstraction ; celui de [C] vers [A] est celui de la prise de sens (cf. fig 1).

On peut faire résulter de cette analyse théorique une triple lecture de la géométrie (cf le bloc-notes: Géométrie et paradigmes géométriques, Houdement et Kuzniak).

La première pourrait s'appeler une géométrie "naturelle", ou d'observation. Elle est illustrée par les figures 2 et 3 : considérons un triangle "quelconque" ABC. On fait apparaître la hauteur AH par pliage fig 2) ; ensuite, on reporte les sommets A, B, C en H et l'on "observe" que les trois angles du triangle reconstituent un angle plat fig 3). On en conclut que A + B + C = deux droits.

Mais l'observation ne porte que sur un triangle particulier ; aucun résultat général n'a été établi. La deuxième lecture s'intitulerait une géométrie "schématique". Ce statut intermédiaire est plus difficile à définir. Admettons quelques résultats (comme A + B + C= 180° dans un triangle quelconque). À partir de là, il devient possible de démontrer des résultats généraux, comme par exemple le théorème de Pythagore. Parmi la multitude des démonstrations, celle de Simson (1766), bien connue des mathématiciens, illustre cette géométrie (fig. 4).

Ces deux dispositions de quatre triangles égaux dans un même carré laissent apparaître soit deux carrés de côtés a et b, soit un grand carré de côté c. D'où l'on en déduit que a2 + b2 = c2.

L'intuition guide la démonstration, notamment par le moyen de la figure. Mais cette figure peut être approximative, alors on raisonne sur un schéma.

Quant à la troisième lecture, une géométrie "pure", elle nous amène à l'abstraction. Les étapes précédentes permettent de concevoir des "objets" abstraits sur lesquels on énonce des propriétés. À partir de ces propriétés, choisies comme axiomes, il est possible de déduire des résultats qui ne doivent rien à l'intuition, et qui sont par conséquent établis avec rigueur. Il s'agit d'une géométrie axiomatique, abstraite, pour laquelle les représentations figuratives peuvent paraître des obstacles ou des leurres. Cette géométrie est issue du courant formaliste du début du xxe siècle. Elle n'entre évidemment pas (ou plus ?) dans les perspectives de l'enseignement secondaire.

Le passage de la première géométrie à la deuxième n'est pas unique ; il est même nécessairement multiple. Il est essentiel d'aborder une notion de plusieurs façons, pour réunir des conditions propres à former l'intuition. Les exemples ne manquent pas : utilisation de pliage, ou d'un miroir pour la symétrie; pavages, découpages, géoplan pour l'aire plane... Il en résulte que l'accès à l'intuition ne sera pas le même pour tous, l'expérience de chacun étant singulière. II n'y a sans cloute pas lieu d'uniformiser l'expérience. Mais alors, ce sont les voies qui mènent de la "géométrie naturelle" à la "géométrie schématique" qui se multiplient.

Ces lectures différentes de la géométrie ne sont pas successives, mais s'organisent en feuillets (voir figure 5).

C'est ainsi que s'établit l'unité de la géométrie, depuis la construction de l'espace jusqu'au raisonnement sur des objets abstraits, en évitant toute rupture qui serait perte de sens.

La géométrie enseignée à l’école

Construction de l’espace

Il s'agit des relations entre le sujet et son environnement: les objets qui l'entourent, ou les autres personnes (et les relations de celles-ci avec les objets...). Ces relations sont d'abord en actes, avant de donner lieu à des représentations, visuelles ou langagières. Les définitions abstraites n'ont pas lieu d'intervenir; l'usage d'un vocabulaire n'est pas prioritaire. C'est la situation qui doit rendre son intervention légitime, puis nécessaire. L'article précédent, La construction de l'espace, nous a proposé quelques exemples. On peut en ajouter bien d'autres : trajets, labyrinthes, circuits, puzzles, pavages, cru bien toutes les activités autour des jeux clé construction. Par exemple, une construction avec des cubes (ou en Lego) est proposée. Il s'agit de la reproduire, avec le modèle ; ou encore deux constructions sont présentées simultanément. Sont-elles identiques ? Comment pourrait-on énoncer leur différence ? La seconde partie fait appel à un mode de description ou d'organisation de l'objet, qui peut être plus ou moins précis. On fait observer une clos constructions. La consigne est ensuite de la reproduire, en l'absence du modèle. Ici, une représentation mentale est importante, mais elle peut emprunter des moyens variés, pas nécessairement explicités. Cette gamme donne idée des différents registres selon lesquels élaborer, communiquer, valider des représentations spatiales.

Configurations

Ce champ se scinde en deux parties.

Tout d'abord, il s'agit d'identifier des formes "simples": reconnaître un disque, un carré, un rectangle, selon des dispositions variées ou à l'intérieur d'ensembles complexes. Ceci relève de la perception globale; jeux d'intrus, jeu clé Kim, Memory préparent à ces activités, qui sont précoces. A la faveur de ces repérages, et selon une progression voisine clé la précédente, il s'agit ensuite d'observer, puis de manipuler (pliage, usage de gabarits...) afin de faire distinguer quelques propriétés géométriques de ces figures. On constitue ainsi un vocabulaire de base, un répertoire de propriétés possibles, clés classements.

Un objet géométrique est le confluent d'une forme globale, de diverses propriétés repérables ou énonçables, de modes de fabrication, de situations où il apparaît. Ainsi, un parallélogramme peut être "lu" mène en l'absence de ses côtés, s'il y a des parallèles, ou bien des côtés opposés égaux, ou encore un centre de symétrie pour quatre points, etc

Ce que l'on appelle ici configuration est la condensation (par exemple autour d'un schéma) d'une figure et d'une ou plusieurs propriétés énonçables L'enseignement vise à faire mémoriser et reconnaître quelques configurations simples, par exemple à l'occasion de situations-problèmes, éventuellement mettre en oeuvre une procédure de construction. Les configurations tissent des liens entre les "objets géométriques perceptifs". Les nœuds de ce réseau s'organisent autour de "bonnes formes" d'abord reconnues perceptivement, puis capturent des figures moins immédiates, des procédures, des relations logiques. C'est peut-être ce point qui constitue la transition entre espace et géométrie classique, c'est-à-dire entre perception et abstraction.

Constructions, transformations

Les constructions constituent une transition capitale entre les configurations et l'aspect déductif. On pourrait encore distinguer à l'intérieur de ce champ selon que l'on fait intervenir ou non dos mesures. Les mesures mettent en relation géométrie et calcul. Les nombres qui interviennent ne sont pas seulement des entiers, mais aussi des décimaux ou des fractions ; l'utilisation des instruments gradués pour mesurer les longueurs ou les angles présente des difficultés spécifiques de manipulation.

On peut différer provisoirement ces difficultés en utilisant du papier quadrillé, dos gabarits, du calque. Chaque instrument est porteur de propriétés géométriques. Les constructions sont des occasions de réinvestir les propriétés explorées précédemment, en introduisant progressivement le langage - schéma plusieurs fois rencontré. On dispose ainsi (le deux variables didactiques : le choix de l'instrument, la place du langage. Exemple : on donne la fig. 6, ou la fig. 7 (sur papier quadrillé, ou sur papier blanc). Il s'agit de la reproduire exactement sur une feuille quadrillée (variante : agrandir clans le rapport 2).

On dispose d'une règle non graduée et d'un compas. Laisser visibles les lignes de construction, s'il y en a. Cet exemple indique que la justification ou la preuve apparaissent bien avant due l'on ne construise des démonstrations. L'occasion de communiquer, la nécessité d'expliquer ou d'argumenter sont les voies qui conduisent à cet exercice plus formel. C'est dans cette dernière direction que la géométrie rencontre la logique et le langage.

François Boule